Helsingin yliopiston päärakennus, Agora-sali 8.–17.1.2025

Näyttelyn taustaa

Topologia on matematiikan alue, joka tutkii muun muassa pintojen yleisiä ominaisuuksia. Taidenäyttelyn paperiveistokset esittelevät topologisesti eri kategorioihin kuuluvia pintoja. Tunnetuin esimerkki lienee yksipuolinen Möbius-rengas, joka ei voi muodostaa minkään todellisen kappaleen pintaa. Toista matemaattisten pintojen kategoriaa edustaa jatkuvasti kaartuva ja itseään leikkaava Enneper-pinta, joka sekään ei kuulu reaalimaailmaan, vaan on olemassa vain matemaattisena abstraktiona. Näyttelyn työt ovat muodoiltaan niin kutsuttuja minimipintoja, eli satulamaisesti kaareutuvia kupera-koveria pintoja, jollaisia esimerkiksi saippuakalvo muodostaa taivutetun rautalankakehikon varaan. 

Näyttelyn kantava teema on matemaattisten muotojen estetiikka. Kaareutuvia pintamuotoja jäljittelevien paperiveistosten valmistustekniikka on tulosta tekijän vuosikymmeniä kestäneestä kiinnostuksesta matematiikan kauneuteen, jota nämä muodot ilmentävät.

Seuraavat sanalliset kuvaukset on tarkoitettu avaamaan ja taustoittamaan kutakin työtä. Syventävät selitykset eivät sisällä matematiikkaa, koska tekijä ei ole matemaatikko. Muutamaan työn kohdalla selostukseen liittyy myös kysymystehtävä, joka nostaa työstä esiin jonkin erityispiirteen.

Näyttelyn työt tulevat myyntiin näyttelyn jälkeen.

Teokset

1. Möbius-rengas

Kiertyvä Möbius-nauha lienee tunnetuin topologisten muotojen erikoisuuksia havainnollistava pinta.
Nauhamainen rengas kiertyy siten, että sillä on vain yksi reuna, eikä siitä voi määritellä sisä- ja ulkopintaa. Yksipuolinen Möbius-pinta ei siten ole homeomorfinen esimerkiksi avoimen tasopinnan tai suljetun pallopinnan kanssa. Matemaattisena muotona tämän pinnan kuvasi saksalainen August Ferdinand Möbius vuonna 1858.

Yksinkertainen Möbius-rengas syntyy yhdistämällä kapean paperiliuskan päät siten, että toista päätä on kierretty puoli kierrosta. Tässä työssä renkaan muoto jäljittelee minimipintaa, jonka saippuakalvo muodostaa kaksinkertaiseksi silmukaksi taivutetun rautalankarenkaan varaan. 

2. Suorakulmainen kuusikulmio

Tämä on minimipinta, joka muodostuu tasasivuisen kuution kuuden särmän varaan. Jokainen kulma on siis 90 asteen suora kulma. Tämä on mahdollista, koska kyseessä ei ole tasopinta, vaan olemme epäeuklidisen geometrian maailmassa. (Tasoon piirretyn säännöllisen kuusikulmion jokainen kulma on 120°, ja vastinkulmien summa on 360° kuten kaikilla tasoon piirretyillä monikulmioilla; tässä tapauksessa vastinkulmien summa on 540°).

Pinta on kauttaaltaan satulamainen, eli kupera-kovera. Sen kaarevuus vaihtelee pinnan eri osissa, mutta minimipinnoille ominaiseen tapaan siten, että jokaisessa pisteessä suurin koveruus on täsmälleen yhtä suuri kuin suurin kuperuus sitä vastaan kohtisuorassa suunnassa. Juuri tämä ominaisuus tuo minimipinnoille niiden tasapainoisen kauneuden eli silmää miellyttävän harmonisen estetiikan.

Kuusikulmiopinnalle voidaan piirtää kolme suoraa lävistäjää (merkitty langoilla), jotka kulkevat kunkin sivun keskipisteestä vastakkaisen sivun keskipisteeseen, ja risteävät keskenään satulan keskellä. Nämä niin kutsutut viivoitinlinjat jakavat pinnan kuuteen identtiseen nelikulmioon, joista jokaisessa on kolme 90 asteen ja yksi 60-asteen kärki.
 
Matemaatikkopiireissä tämä kolmilukuinen satulapinta kulkee saksalaisella nimellä Affensattel, eli Apinansatula – apina tarvitsee hännälleen kolmannen liepeen, kun ihmiselle riittää jaloilleen kaksi. 

KYSYMYS: Kuinka monen suuntaisia viivoitinlinjoja (reunat mukaan lukien) voidaan asettaa tälle apinansatulapinnalle?

3. Möbius-minimipinta Borromea-renkaiden varassa

Pinnan reunoina on kolme soikeaa rengasta, jotka sijaitsevat toisiinsa nähden kohtisuorassa asennossa. Renkaat eivät liity toisiinsa kuten ketjun silmukat, vaan siten, että kolmas rengas lukitsee kaksi muuta asemaansa. Tämä kolmen renkaan konstruktio tunnetaan eri muunnelmina monissa kulttuureissa, ja se esiintyi renessanssiajan italialaisen Borromeo-suvun vaakunakilnessä.

Borromea-renkaiden varassa kiertävä minimipinta on myös yksipuolinen Möbius-pinta.

4. Diptyykki

Kaksi erilaista minimipintaa kaksoisrenkaiden varassa. Tässä tapauksessa pinnan reunat muodostuvat kahdesta toisiinsa liittyvästä renkaasta. Renkaiden varaan voidaan muodostaa (minimi)pinta joko rajallisena, eli vain renkaiden varaan pingottuvana, tai rajattomana, jolloin se jatkuu tasoksi oikenevana pintana äärettömiin.
 
Renkaita yhdistävä pinta tuottaa rakenteelle uuden ominaisuuden, jota kahdella toisiinsa linkittyvällä renkaalla alkujaan ei ollut, nimittäin kiraliteetin eli kätisyyden. Renkaita kiertävä pinta voi kiertyä joko oikealla tai vasemmalle. Tällöin pinnat ovat toistensa peilikuvia.

5. Triptyykki

Kolme erilaista minimipintaa apilasolmun varassa. Pinnan reuna tässä tapauksessa on apilasolmu, joka on yksinkertaisin kaikista solmuista. Kätisyys eli kiraliteetti on jo sinänsä solmun ominaisuus, joten sen varaisilla pinnoilla on myös peilikuvansa. Apilasolmun varaan voidaan virittää kolme erilaista minimipintaa, joista kaksi rajallisia ja yksi äärettömiin jatkuva (vertaa edelliseen).

KYSYMYS: Onko jokin tai jotkin näistä kolmesta pinnasta Möbius-pinta?

6. Enneperin pinta

Saksalaisen Alfred Enneperin vuonna 1864 kuvaama minimipinta on satulamaisesti kaareutuva pinta, jonka liepeet kaartuvat hyperbolisesti siten, että ne lopulta leikkaavat eli risteävät itsensä kanssa. Tämä työ perustuu kaksilukuiseen satulamuotoon, jossa on kaksi alaspäin ja kaksi ylöspäin kaartuvaa lievettä.

Muodon keskiössä oleva satulapinta on avain avaruudelliseen symmetriaan, joka on erilaista kuin meille arkielämässä tutummat peilikuva- ja säteittäissymmetrian muodot. Tässä symmetriatyypissä osapuolet ovat muodoltaan identtisiä, mutta eivät sijaitse peilikuvamaisesti vastakkain, vaan kohtisuoran symmetria-akselin suhteen kiertyneinä: kaksilukuisessa asennossa 90 astetta ja kolmilukuisessa 60 astetta. Seuraava työ, nro 7., on vastaavasti kolmilukuinen Enneper-pinta. Poimujen luku voi olla suurempikin.

7. Affensattel überentwickelt, eli Ylikiertynyt apinansatula

Tämä työ on kolmilukuinen Enneper-pinta. Lähtökohtana on työn nro 2 Apinansatula, jonka-pinnan liepeitä on jatkettu kaartumaan siten, että ne suuntautuvat kuvitellun tasasivuisen kuution sivujen suuntaisiksi ja koskettavat toisiaan kuution särmien keskipisteissä.. Myös tälle pinnalle voidaan asettaa kolme suoraa linjaa, jotka risteävät satulan keskipisteessä ja jakavat pinnan kuuteen identtiseen liuskaan.

8. Schwarzin D-pinta

Jaksollinen minimipinta, jonka lähtökohtana ja peruselementtinä on työn nro 2 Apinansatula. Koska suorakulmainen satulapinta rajautuu kuutiolliseen hilaan, tällaisia pintaelementtejä voidaan liittää toisiinsa samalla tavalla kuin kuutiopalikoista voidaan pinota suurempia kappaleita. Tuloksena on rajattomasti laajeneva jaksollinen minimipinta, joka jakaa avaruuden kahteen identtiseen ja toisiinsa solmiutuvaan ontelotilaan.

Tämä jaksollinen minimipinta tunnetaan nimellä Schwarzin D-pinta (saksalainen matemaatikko Hermann Schwarz, 1843-1921, kuvasi useita jaksollisia minimipintoja). Käsillä oleva pinta on rajattu kuusikulmioelementtien suorien lävistäjien suuntaisilla leikkausviivoilla.

KYSYMYS: Kuinka monta reunaa kiertää tällä tavoin rajattua Schwarzin D-pinnan lohkoa? 

9. Costan pinta

Brasilialainen matemaatikko Celso José da Costa (s. 1949) kuvasi vuonna 1982 minimipinnan, joka herätti topologipiireissä riemua ja hämmennystä, koska kyseessä oli vuosikymmeniin ensimmäinen kokonaan uusi topologisten pintojen kategoria. 

Aiemmin tunnetut kolme avoimien eli äärettömiin jatkuvien pintojen kategoriaa olivat taso (jolla on yksi äärettömyyksiin jatkuva reuna), ruuvikierteinen helikoidi, jolla myös on yksi reuna. mutta jota ei voi levittää tasoksi, sekä torvimainen katenoidi, jolla kaksi äärettömiin jatkuvaa reunaa.

Costan pinnalla on kolme äärettömyyksiin jatkuvaa reunaa, ja se jakaa avaruuden kahteen toistensa kanssa risteävään tilaan. 

Esillä oleva malli on geometrialtaan kaksilukuinen, mutta lukumäärä voi olla muukin. Tässäkin tapauksessa pinnan keskiössä on satulapinta (vertaa työt 6 ja 7). Satulasymmetristen muotojen moninaisuus syntyy siitä, että satulan liepeitä voidaan kasvattaa eri suuntiin, ja ohjata niitä eri tavoin joko sulautumaan toisiinsa tai risteämään keskenään..

VASTAUKSET KYSYMYKSIIN

2. Suorakulmainen kuusikulmio

KYSYMYS: Kuinka monen suuntaisia viivotinlinjoja (reunat mukaan lukien) voidaan asettaa tälle apinansatulapinnalle?

VASTAUS: Kuusi kappaletta: kolme paria reunojen suuntaisina ja kolme lävistäjää

5. Triptyykki

KYSYMYS: Onko jokin tai jotkin näistä kolmesta pinnasta Möbius-pinta?

VASTAUS: Pinta a on yksipuolinen Möbius-pinta

8. Schwarzin D-pinta

KYSYMYS: Kuinka monta reunaa kiertää tällä tavoin rajattua Schwarzin D-pinnan lohkoa?

VASTAUS: Vain yksi reuna. (Kyseessä on päättymätön pinta, josta tähän on leikattu yksi pala pintaelementeille asettuvia viivoitinlinjoja myöten)